Antwoord deelbaarheid

De truc bij het oplossen van zo’n opgave is om net zo veel getallen n te proberen totdat je een patroon ziet. Daarvoor maak ik onderstaande tabel:

Vervolgens zien wij in de kolom rest nu twee rijen ontstaan. Voor oneven n staat er 1, 2, 3, 4, 5, 6. Voor even n staat er 4, 7, 10, 13, 16. De opgave is nu gereduceerd tot bedenken waar in deze rijen het getal 1000 komt te staan.

  • In de rij 1, 2, 3, 4, … komt 1000 natuurlijk op plek 1000 te staan. Dit hoort bij het getal 1999.
  • In de rij 4, 7, 10, 13, … staat op plek k het getal 3\cdot k + 1. Aangezien 1000 = 3 \cdot 333 + 1 staat 1000 op plek 333. Daarbij hoort het getal 666.

Het antwoord op de vraag is dus 666 en 1999.

Opmerking: In deze uitwerking heb ik niet bewezen dat het patroon ook klopt. Als je nieuwsgierig bent hoe je dit bewijst, bekijk dan de uitwerking van vraag 4 op de site van de Wiskunde Olympiade.

Klik hier om terug te gaan naar de puzzelpagina.